Question

9．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$．
（1）求a_n；
（2）若b_n=a_n•a_n+1，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求S_n的范圍．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）b_n=a_n•a_n+1=$\frac{4}{（n+1）（n+2）}$=4$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$．利用“裂項求和”方法與數(shù)列的單調性即可得出．

解答 解：（1）由a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數(shù)列，公差為$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}（n-1）$=$\frac{n+1}{2}$，解得a_n=$\frac{2}{n+1}$．
（2）b_n=a_n•a_n+1=$\frac{4}{（n+1）（n+2）}$=4$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$．
S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=4$[（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）]$
=4$（\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}）$∈$[\frac{2}{3}，2）$．
∴S_n的范圍是$[\frac{2}{3}，2）$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關系、等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法、數(shù)列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．