Question

14．利用微積分基本定理或定積分的幾何意義求下列各函數(shù)的定積分：
（1）$\int_0^1{（{x^2}-x）dx}$（2）$\int_1^3{|{x-2}|dx}$（3）$\int_0^1{\sqrt{1-{x^2}}dx}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)微積分基本定理即可求出，
（2）$\int_1^3{|{x-2}|dx}$=${∫}_{1}^{2}$（2-x）dx+${∫}_{2}^{3}$（x-2）dx，再根據(jù)微積分基本定理即可求出，
（3）$\int_0^1{\sqrt{1-{x^2}}dx}$表示以原點(diǎn)為圓心以1半徑的圓的面積的四分之一，問(wèn)題得以解決．

解答 解：（1）$\int_0^1{（{x^2}-x）dx}$=（$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²）|${\;}_{0}^{1}$=$\frac{1}{3}$$-\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{6}$，
（2）$\int_1^3{|{x-2}|dx}$=${∫}_{1}^{2}$（2-x）dx+${∫}_{2}^{3}$（x-2）dx=（2x-$\frac{1}{2}{x}^{2}$）|${\;}_{1}^{2}$+（$\frac{1}{2}{x}^{2}$-2x）|${\;}_{2}^{3}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=1，
（3）$\int_0^1{\sqrt{1-{x^2}}dx}$表示以原點(diǎn)為圓心以1半徑的圓的面積的四分之一，故$\int_0^1{\sqrt{1-{x^2}}dx}$=$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了微積分基本定理或定積分的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．