Question

在某電視節(jié)目的一次有獎(jiǎng)競猜活動(dòng)中，主持人準(zhǔn)備了A、B兩個(gè)相互獨(dú)立的問題，并且宣布：幸運(yùn)觀眾答對問題A可獲獎(jiǎng)金1000元，答對問題B可獲獎(jiǎng)金2000元，先答哪個(gè)題由觀眾自由選擇，但只有第一個(gè)問題答對，才能再答第二題，否則終止答題．若你被選為幸運(yùn)觀眾，且假設(shè)你答對問題A、B的概率分別為

1

2

、

1

4

．
（Ⅰ）記先回答問題A獲得的獎(jiǎng)金數(shù)為隨機(jī)變量ξ，則ξ的取值分別是多少？
（Ⅱ）你覺得應(yīng)先回答哪個(gè)問題才能使你獲得更多的獎(jiǎng)金？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先回答問題A，答錯(cuò)的0元；答對，B答錯(cuò)，得1000元；A、B都答對，得3000元
（2）設(shè)先答問題A獲得的獎(jiǎng)金為ξ元，先答問題B獲得的獎(jiǎng)金為η元．分別求其期望值，比較大小即可．

解答：解：（Ⅰ）隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1000，3000．
（Ⅱ）設(shè)先答問題A獲得的獎(jiǎng)金為ξ元，先答問題B獲得的獎(jiǎng)金為η元．則有P(ξ=0)=1-

1

2

=

1

2

，P(ξ=1000)=

1

2

×(1-

1

4

)=

3

8

，P(ξ=3000)=

1

2

×

1

4

=

1

8

，
∴Eξ=0×

1

2

+1000×

3

8

+3000×

1

8

=

6000

8

=750．
同理：P(η=0)=

3

4

，P(η=2000)=

1

8

，P(η=3000)=

1

8

，
∴Eη=0×

3

4

+2000×

1

8

+3000×

1

8

=

5000

8

=625．
故知先答問題A，所獲得的獎(jiǎng)金期望較多．

點(diǎn)評：本題考查相互獨(dú)立事件的概率、離散型隨機(jī)變量的期望問題，以及利用概率知識(shí)分析問題、解決問題的能力．