Question

已知函數(shù)，．
（Ⅰ）設(shè)（其中是的導(dǎo)函數(shù)），求的最大值；
（Ⅱ）求證:當(dāng)時(shí)，有；
（Ⅲ）設(shè),當(dāng)時(shí),不等式恒成立，求的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）取得最大值；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）整數(shù)的最大值是.

試題分析：(Ⅰ)通過求的導(dǎo)函數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性，從而確定在時(shí)，取得最大值；（Ⅱ）由(Ⅰ)可知當(dāng)時(shí)，，從而有．（Ⅲ）先由當(dāng)時(shí),不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立,設(shè)，通過導(dǎo)函數(shù)求出的單調(diào)性從而得出，整數(shù)的最大值是.
試題解析：(Ⅰ),所以 ．  
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
因此，當(dāng)時(shí)，取得最大值；                 3分
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，．由（1）知：當(dāng)時(shí)，，即．
因此，有．      7分
（Ⅲ）不等式化為所以
對(duì)任意恒成立．令，
則，令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240244147501186.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以方程在上存在唯一實(shí)根，且滿足．
當(dāng)，即，當(dāng)，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以．
所以．故整數(shù)的最大值是.        13分