已知點為圓：上任意一點，點B(-1,0)，線段的垂直平分線和線段相交于點M.

（1）求點M的軌跡E的方程；

（2）已知點為曲線E上任意一點，求證：點關于直線的對稱點為定點，并求出該定點的坐標.

解：

（1）連結(jié)MB，,

故，而                             -------------------------4分

點M的軌跡是以A、B為焦點且長軸長為的橢圓

點M的軌跡E的方程為                          ------------------------8分

（2）證明：設點關于直線的對稱點為

所以，即            ----------------------10分

，

                                     -------------------------14分

因為上式對任意成立，故

所以對稱點為定點.                                 -------------------------16分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P是圓M：x2+（y+m）2=8（m＞0，m≠
2
）上一動點，點N（0，m）是圓M所在平面內(nèi)一定點，線段NP的垂直平分線l與直線MP相交于點Q．
（Ⅰ）當P在圓M上運動時，記動點Q的軌跡為曲線Γ，判斷曲線Γ為何種曲線，并求出它的標準方程；
（Ⅱ）過原點斜率為k的直線交曲線Γ于A，B兩點，其中A在第一象限，且它在y軸上的射影為點C，直線BC交曲線Γ于另一點D，記直線AD的斜率為k′．是否存在m，使得對任意的k＞0，都有|k•k′|=1？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•牡丹江一模）已知雙曲線E：
x2
a2
-
y2
b2
=1的焦距為4，以原點為圓心，實半軸長為半徑的圓和直線x-y+
6
=0相切．
（Ⅰ） 求雙曲線E的方程；
（Ⅱ）已知點F為雙曲線E的左焦點，試問在x軸上是否存在一定點M，過點M任意作一條直線l交雙曲線E于P，Q兩點，使
FP
•
FQ
為定值？若存在，求出此定值和所有的定點M的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•寶山區(qū)一模）已知半徑為R的球的球面上有三個點，其中任意兩點間的球面距離都等于
πR
3
，且經(jīng)過這三個點的小圓周長為4π，則R=
2
3
2
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
（A）（幾何證明選做題）已知PA是圓D的切線，切點為A，PA=2，AC是圓D的直徑，PC與圓D交于點B，PB=1，則圓O的半徑r=
3
3
．
（B）（極坐標系與參數(shù)方程選做題）在極坐標系中，曲線p=4cos（θ-
π
3
）上任意兩點間的距離的最大值為
4
4
．
（C）（不等式選做題）若不等式|x-2|+|x+1|≥α對于任意x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為
{α|α≤3}
{α|α≤3}
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年山東省菏澤市高三5月高考沖刺題文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知點為圓上的動點，且不在軸上，軸，垂足為，線段中點的軌跡為曲線，過定點任作一條與軸不垂直的直線，它與曲線交于、兩點。

（I）求曲線的方程；

（II）試證明：在軸上存在定點，使得總能被軸平分

【解析】第一問中設為曲線上的任意一點，則點在圓上，

∴，曲線的方程為

第二問中，設點的坐標為，直線的方程為，　　………………3分　 　

代入曲線的方程，可得　

∵，∴

確定結(jié)論直線與曲線總有兩個公共點．

然后設點,的坐標分別, ，則，  

要使被軸平分，只要得到。

（1）設為曲線上的任意一點，則點在圓上，

∴，曲線的方程為．  ………………2分       

（2）設點的坐標為，直線的方程為，　　………………3分　 　

代入曲線的方程，可得　，……5分            

∵，∴，

∴直線與曲線總有兩個公共點．（也可根據(jù)點M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論）

………………6分

設點,的坐標分別, ，則，   

要使被軸平分，只要，            ………………9分

即，，        ………………10分

也就是，，

即，即只要　 ………………12分　 

當時，（＊）對任意的s都成立，從而總能被軸平分．

所以在x軸上存在定點，使得總能被軸平分

 

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