已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2-4（a∈R）．若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線的傾斜角為
π4
．
（Ⅰ）設(shè)f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f'（x），若s，t∈[-1，1]，求f'（s）+f（t）的最小值；
（Ⅱ）對(duì)實(shí)數(shù)k的值，討論函數(shù)F（x）=f（x）-k零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
分析：（I）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)在x=1處的值，利用函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，列出方程求出a的值，將a的值代入f（x）的解析式，求出其導(dǎo)函數(shù)．
（II）列出x、f′（x）/f（x）的變化情況表，求出f（x）的極大值、極小值，求出k的范圍．
解答：解：（I）f'（1）=1⇒a=2⇒f（x）=-x3+2x2-4⇒f'（x）=-3x2+4x（3分）
因s，t互相獨(dú)立，故只要分別求f'（s），f（t），s，t∈[-1，1]的最小值即可
當(dāng)s=-1，t=0時(shí)，f'（s）+f（t）的最小值為-11
（II）等價(jià)于討論f（x）=k的實(shí)根的個(gè)數(shù)
x （-∞，0） 0 (0，
4
3
)
4
3
 (
4
3
，+∞)
f'（x） - 0 + 0 -
f（x） ↘ -4 ↗ -
76
27
 ↘
∴k＞-
76
27
或k＜-4，一解；k=-
76
27
或k=-4，二解；-4＜k＜-
76
27
，三解．
點(diǎn)評(píng)：本題1考查函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率；解決已知方程的解的個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極值問(wèn)題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對(duì)稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時(shí)f（x）的表達(dá)式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實(shí)數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實(shí)數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2010的值為（　　）
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對(duì)于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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