Question

若命題甲為：(

1

2

)x，

2

2x

，2x成等比數(shù)列，命題乙為：lgx，lg（x+1），lg（x+3）成等差數(shù)列，則甲是乙的（　　）

A．充分非必要條件

B．必要非充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：根據(jù)等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)列式，結(jié)合充分必要條件的定義加以判斷，不難得到甲是乙的充要條件．

解答：解：充分性
若(

1

2

)x，

2

2x

，2x成等比數(shù)列，則(

2

2x

)2=(

1

2

)x•2^x
∴2^2-2x=1，解之得x=1
此時(shí)，數(shù)列l(wèi)gx，lg（x+1），lg（x+3）為lg1，lg2，lg4，滿(mǎn)足成等差數(shù)列
所以充分性成立；
必要性
若lgx，lg（x+1），lg（x+3）成等差數(shù)列，則2lg（x+1）=lgx+lg（x+3）
即（x+1）²=x（x+3），解之得x=1
此時(shí)，數(shù)列(

1

2

)x，

2

2x

，2x為

1

2

，1，2，滿(mǎn)足成等比數(shù)列
所以必要性成立．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出有關(guān)數(shù)列的兩個(gè)命題，要我們判斷兩個(gè)命題間的充要關(guān)系，著重考查了等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)和充分必要條件的判斷等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．