Question

12．已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點為A（1，16），且函數(shù)f（x）的圖象在x軸上截得的線段長為8．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=（2-2p）x-f（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)p的取值范圍；
（3）若函數(shù)h（x）=-2af（x）+（4a+2）x+29a-1在區(qū)間[-1，1]上有且只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)f（x）=a（x-1）²+16=ax²-2ax+a+16，圖象在x軸上截得線段長為8，利用弦長公式與韋達定理可求得a的值，從而可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求得g（x）的表達式，利用g（x）在[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（3）先確定當(dāng)a=0時，h（x）=2x-1，其零點符合要求，再確定對稱軸屬于區(qū)間[-1，1]，函數(shù)h（x）有唯一解時△=0時不成立；當(dāng)△大于零0時，分開口向上和向下兩種情況討論．

解答 解：（1）由條件設(shè)二次函數(shù)f（x）=a（x-1）²+16=ax²-2ax+a+16，
設(shè)f（x）=0的兩根為：x₁，x₂，令x₁＜x₂，
∵圖象在x軸上截得線段長為8，由韋達定理得：
（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₂x₁=（-2）²-4×$\frac{a+16}{a}$=64
解得a=-1
∴函數(shù)的解析式為f（x）=-x²+2x+15；
（2）∵f（x）=-x²+2x+15，
∴g（x）=（2-2p）x-f（x）=x²-2px-15，
而g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)，
∴對稱軸x=p在[0，2]的左側(cè)，
∴p≤0．
所以實數(shù)a的取值范圍是p≤0；
（3）h（x）=-2af（x）+（4a+2）x+29a-1=2ax²+2x-a-1，
若函數(shù)h（x）在區(qū)間[-1，1]上有且只有一個零點，
則①當(dāng)a=0時，h（x）=2x-1，其零點為$\frac{1}{2}$∈[-1，1]；
②當(dāng)a≠0，二次函數(shù)只有一個零點且在[-1，1]時，滿足條件，
即：$\left\{\begin{array}{l}{a≠0}\\{△=4+4×2a（a+1）=0}\\{-1≤-\frac{2}{4a}≤1}\end{array}\right.$⇒無解；                          
③當(dāng)a≠0，二次函數(shù)有兩個零點，一個在[-1，1]時，滿足條件，
即：$\left\{\begin{array}{l}{a≠0}\\{△=4+4×2a（a+1）＞0}\\{h（-1）•h（1）＜0}\end{array}\right.$⇒-1＜a＜0或0＜a＜3；    
④當(dāng)-1是零點時，a=3，此時h（x）=6x²+2x-4，零點是：-1，$\frac{2}{3}$，不合題意，
當(dāng)1是零點時，a=-1，此時h（x）=-2x²+2x，零點是：1，0，不合題意；  
綜上所述：-1＜a＜3滿足題意．

點評 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，著重考查二次函數(shù)解析式的設(shè)法與求解，突出弦長公式與韋達定理的應(yīng)用，考查函數(shù)的零點問題，注重單調(diào)性的考查，屬于中檔題．