Question

已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，-1），焦點(diǎn)在x軸上．若右焦點(diǎn)到直線的距離為3．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓與直線y=kx+m（k≠0）相交于不同的兩點(diǎn)M、N．當(dāng)|AM|=|AN|時(shí)，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意可設(shè)橢圓方程為，由題設(shè)解得a²=3，故所求橢圓的方程為．
（2）設(shè)P為弦MN的中點(diǎn)，由得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，由于直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，∴△＞0，即m²＜3k²+1．由此可推導(dǎo)出m的取值范圍．
解答：解：（1）依題意可設(shè)橢圓方程為，
則右焦點(diǎn)F（）由題設(shè)
解得a²=3故所求橢圓的方程為；
（2）設(shè)P為弦MN的中點(diǎn)，由
得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0
由于直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，∴△＞0，即m²＜3k²+1①
∴從而
∴又|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，
則即2m=3k²+1②
把②代入①得2m＞m²解得0＜m＜2由②得解得．
故所求m的取范圍是（）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．