Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n=4a_n-p，其中p為非零常數．
（1）求證：數列{a_n}成等比數列；
（2）若a₂=

4

3

，數列{b_n}滿足b_n+1=b_n+a_n，b₁=2，求{b_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）根據數列的遞推關系利用作差法即可證明數列{a_n}成等比數列；
（2）求出數列{a_n}的通項公式，利用累加法即可求出{b_n}的通項公式．

解答： 證明：（1）∵S_n=4a_n-p（n∈N^*），
∴S_n-1=4a_n-1-p（n∈N^*，n≥2），
兩式作差得，a_n=S_n-S_n-1=4a_n-4a_n-1，
解3a_n=4a_n-1，
即

an

an-1

=

4

3

．
∴數列{a_n}成等比數列，公比q=

4

3

．
（2）由S_n=4a_n-p，令n=1，得a₁=4a₁-p，解得a₁=

p

3

，a₂=

4

3

，
∴a₂=

4

3

=

p

3

×

4

3

，
解得p=3，即a₁=1，
則a_n=（

4

3

）^n-1，
由b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，），得b_n+1-b_n=a_n=（

4

3

）^n-1，
當n≥2時，由累加得b_n=b₁+（b₂-b_′1）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=2+

1-( 4 3 )n-1

1- 4 3

=3×（

4

3

）^n-1-1，
當n=1時，b₁=2也滿足b_n=3×（

4

3

）^n-1-1，
故求{b_n}的通項公式為b_n=3×（

4

3

）^n-1-1．

點評：本題主要考查數列的通項公式的應用，等比數列的證明，注意利用a_n=S_n-S_n-1時，必須驗證n=1的情形，否則容易出錯誤．