Question

已知函數(shù)．

(Ⅰ)討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；

(Ⅱ)若函數(shù)在處取得極值，且對,恒成立，

求實數(shù)的取值范圍；

(Ⅲ)當(dāng)且時，試比較的大小。

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)當(dāng)時在上沒有極值點，當(dāng)時，在上有一個極小值點．

(Ⅱ)．

(Ⅲ)當(dāng)時，∴，

當(dāng)時，∴    

【解析】

試題分析：(Ⅰ)因為函數(shù)的定義域為且，

故①當(dāng)時，在上恒成立，函數(shù)在單調(diào)遞減，此時在上沒有極值點；

②當(dāng)時，由得，由得，由得，

∴在上遞減，在上遞增，此時在處有極小值．

綜上，當(dāng)時在上沒有極值點，當(dāng)時，在上有一個極小值點．     4分

(Ⅱ)∵函數(shù)在處取得極值，∴，

∴，  6分

令，可得在上遞減，在上遞增，

∴，即．  9分

(Ⅲ)解：令，  10分

由(Ⅱ)可知在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減

∴當(dāng)時，>，即．  11分

當(dāng)時，∴，

當(dāng)時，∴    14分

考點：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、證明不等式。

點評：典型題，在研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間、求極值過程中，基本方法步驟是：求導(dǎo)數(shù)、求駐點、解不等式、定導(dǎo)數(shù)符號，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值。利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，應(yīng)首先構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)與最值的關(guān)系。