已知函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù);
(Ⅱ)若函數(shù)在處取得極值,且對,恒成立,
求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng)且時,試比較的大小。
(Ⅰ)當(dāng)時在上沒有極值點,當(dāng)時,在上有一個極小值點.
(Ⅱ).
(Ⅲ)當(dāng)時,∴,
當(dāng)時,∴
【解析】
試題分析:(Ⅰ)因為函數(shù)的定義域為且,
故①當(dāng)時,在上恒成立,函數(shù)在單調(diào)遞減,此時在上沒有極值點;
②當(dāng)時,由得,由得,由得,
∴在上遞減,在上遞增,此時在處有極小值.
綜上,當(dāng)時在上沒有極值點,當(dāng)時,在上有一個極小值點. 4分
(Ⅱ)∵函數(shù)在處取得極值,∴,
∴, 6分
令,可得在上遞減,在上遞增,
∴,即. 9分
(Ⅲ)解:令, 10分
由(Ⅱ)可知在上單調(diào)遞減,則在上單調(diào)遞減
∴當(dāng)時,>,即. 11分
當(dāng)時,∴,
當(dāng)時,∴ 14分
考點:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、證明不等式。
點評:典型題,在研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間、求極值過程中,基本方法步驟是:求導(dǎo)數(shù)、求駐點、解不等式、定導(dǎo)數(shù)符號,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值。利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,應(yīng)首先構(gòu)造函數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性,確定函數(shù)與最值的關(guān)系。
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com