Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）證明：f（x）存在唯一的極大值點x0 ， 且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2 ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：因為f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），
則f（x）≥0等價于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，
因為h′（x）=a﹣ ，且當0＜x＜ 時h′（x）＜0、當x＞ 時h′（x）＞0，
所以h（x）min=h（ ），
又因為h（1）=a﹣a﹣ln1=0，
所以 =1，解得a=1；
（Ⅱ）證明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，
令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，記t（x）=2x﹣2﹣lnx，則t′（x）=2﹣ ，
令t′（x）=0，解得：x= ，
所以t（x）在區(qū)間（0， ）上單調(diào)遞減，在（ ，+∞）上單調(diào)遞增，
所以t（x）min=t（ ）=ln2﹣1＜0，從而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在兩根x0 ， x2 ，
且不妨設(shè)f′（x）在（0，x0）上為正、在（x0 ， x2）上為負、在（x2 ， +∞）上為正，
所以f（x）必存在唯一極大值點x0 ， 且2x0﹣2﹣lnx0=0，
所以f（x0）= ﹣x0﹣x0lnx0= ﹣x0+2x0﹣2 =x0﹣ ，
由x0＜ 可知f（x0）＜（x0﹣ ）max=﹣ + = ；
由f′（ ）＜0可知x0＜ ＜ ，
所以f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞增，在（x0 ， ）上單調(diào)遞減，
所以f（x0）＞f（ ）=﹣ + = ＞ ；
綜上所述，f（x）存在唯一的極大值點x0 ， 且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2 ．
【解析】（Ⅰ）通過分析可知f（x）≥0等價于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，進而利用h′（x）=a﹣ 可得h（x）min=h（ ），從而可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（Ⅰ）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，記t（x）=f′（x）=2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）min=t（ ）=ln2﹣1＜0，從而可知f′（x）=0存在兩根x0 ， x2 ， 利用f（x）必存在唯一極大值點x0及x0＜ 可知f（x0）＜ ，另一方面可知f（x0）＞f（ ）=﹣ + = ＞ ．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用基本求導(dǎo)法則和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握若兩個函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo)；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．