Question

橢圓C₁：=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)分別為A、B．點(diǎn)P雙曲線C₂：=1在第一象限內(nèi)的圖象上一點(diǎn)，直線AP、BP與橢圓C₁分別交于C、D點(diǎn)．若△ACD與△PCD的面積相等．
（1）求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）能否使直線CD過橢圓C₁的右焦點(diǎn)，若能，求出此時(shí)雙曲線C₂的離心率，若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)P（x，y）（x＞0，y＞0），又有點(diǎn)A（-a，0），B（a，0）．由S_△ACD=S_△PCD，知C為AP的中點(diǎn)，．將C點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得，由此能夠推導(dǎo)出．
（2）由，把直線PD：代入⇒2x²-3ax+a²=0．由此入手能夠?qū)С隹墒笴D過橢圓C₁的右焦點(diǎn)，此時(shí)C₂的離心率為．
解答：解：（1）設(shè)P（x，y）（x＞0，y＞0），又有點(diǎn)A（-a，0），B（a，0）．
∵S_△ACD=S_△PCD，
∴C為AP的中點(diǎn)，∴．
將C點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得，
又，
∴x=2a（x=-a舍去），
∴，
∴．
（2）∵，
直線PD：代入⇒2x²-3ax+a²=0
∴，
∴
∴CD垂直于x軸．若CD過橢圓C₁的右焦點(diǎn)，則，
∴，
∴．故可使CD過橢圓C₁的右焦點(diǎn)，此時(shí)C₂的離心率為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．