Question

設函數f（x）=x-xlnx．數列{a_n}滿足0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n）．
（Ⅰ）證明：函數f（x）在區(qū)間（0，1）是增函數；
（Ⅱ）證明：a_n＜a_n+1＜1；
（Ⅲ）設b∈（a₁，1），整數k≥

a1-b

a1lnb

．證明：a_k+1＞b．

Answer 1

分析：（1）首先求出函數的導數，然后令f′（x）=0，解出函數的極值點，最后根據導數判斷函數在區(qū)間（0，1）上的單調性，從而
進行證明．
（2）由題意數列{a_n}滿足0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n），求出a_n+1=a_n-a_nlna_n，然后利用歸納法進行證明；
（3）由題意f（x）=x-xlnx，a_n+1=f（a_n）可得a_k+1=a_k-b-a_k，然后進行討論求解．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵f（x）=x-xlnx，
∴f′（x）=-lnx，
當x∈（0，1）時，f′（x）=-lnx＞0
故函數f（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數；

（Ⅱ）證明：（用數學歸納法）
（i）當n=1時，0＜a₁＜1，a₁lna₁＜0，
a₂=f（a₁）=a₁-a₁lna₁＞a₁，
∵函數f（x）在區(qū)間（0，1）是增函數且函數f（x）在x=1處連續(xù)，
∴f（x）在區(qū)間（0，1]是增函數，
a₂=f（a₁）=a₁-a₁lna₁＜1，即a₁＜a₂＜1成立，
（ⅱ）假設當x=k（k∈N⁺）時，a_k＜a_k+1＜1成立，
即0＜a₁≤a_k＜a_k+1＜1，
那么當n=k+1時，由f（x）在區(qū)間（0，1]是增函數，0＜a₁≤a_k＜a_k+1＜1，
得f（a_k）＜f（a_k+1）＜f（1），
而a_n+1=f（a_n），
則a_k+1=f（a_k），a_k+2=f（a_k+1），a_k+1＜a_k+2＜1，
也就是說當n=k+1時，a_n＜a_n+1＜1也成立，
根據（�。�、（ⅱ）可得對任意的正整數n，a_n＜a_n+1＜1恒成立．

（Ⅲ）證明：由f（x）=x-xlnx，a_n+1=f（a_n）可得
a_k+1=a_k-b-a_k=a1-b-

k

i=1

ailnai，
1）若存在某i≤k₂，滿足a_i≤b3，，則由（Ⅱ）知：a_k+1-b＜a_i-b≥04，
2）若對任意i≤k₆，都有a_i＞b，則a_k+1=a_k-b-a_klna_k=a1-b-

k

i=1

ailnai=a1-b-

k

i=1

ailnb≥a₁-b₁-ka₁ln=0，
即a_k+1＞b成立．

點評：此題主要考查多項式函數的導數，函數單調性的判定，函數最值，函數、方程與不等式等基礎知識及數學歸納法的應用，一般出題者喜歡考查學生的運算求解能力、推理論證能力及分析與解決問題的能力，要出學生會用數形結合的思想、分類與整合思想，化歸與轉化思想、有限與無限的思想來解決問題．