Question

設函數(shù)f（x）=log_a（a²x）•log_a（ax） （a＞0且a≠1），

1

9

≤x≤9．令t=log_ax
（1）若t∈[-2，2]，求a的取值范圍；
（2）當a=

3

時，求函數(shù)f（x）的最大值與最小值及對應的x值．

Answer 1

分析：（1）利用對數(shù)函數(shù)的性質，解對數(shù)不等式即可．
（2）利用換元法，結合對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質求函數(shù)的最大值和最小值．

解答：解：（1）當a＞1時，
∵

1

9

≤x≤9．
∴t=logax∈[loga

1

9

，loga9]
∵t∈[-2，2]，
∴

loga 1 9 ≥-2 loga9≤2

∴

-loga9≥-2 loga9≤2

∴l(xiāng)oga9≤2=logaa2，
∵a＞1，∴a²≥9，a≥3．
當0＜a＜1時，
∵

1

9

≤x≤9．
∴t=logax∈[loga9，loga

1

9

]．
∵t∈[-2，2]，
∴

loga9≥-2 loga 1 9 ≤2

∴

loga9≥-2 -loga9≤2

∴l(xiāng)oga9≥-2=logaa-2，
∵0＜a＜1，
∴a-2≥9，a2≤

1

9

，0＜a≤

1

3

．
綜上0＜a≤

1

3

或a≥3．
（ II） 由f(x)=(log

3

x+2)•(log

3

x+1)=(log

3

x)2+3log

3

x+2=t2+3t+2
令g(t)=t2+3t+2=(t+

3

2

)2-

1

4

，t∈[-4，4]．
當t=-

3

2

時，g(t)min=-

1

4

，
即log

3

x=-

3

2

⇒x=(

3

)-

3

2

=3-

3

4

=

4 3

3

．
∴f(x)min=-

1

4

，此時x=

1

27

（寫成x=3-

3

4

也可以）
當t=4時，g（t）_max=g（4）=30，
即log

3

x=4⇒x=9．
∴f（x）_max=30，此時x=9．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質以及對數(shù)運算，利用換元法是解決本題的關鍵，考查學生的運算能力．