Question

已知點P（4，a）（a＞0）在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，P點到拋物線C的焦點F的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）已知圓E：x²+y²=2x，過圓心E作直線l與圓E和拋物線C自上而下依次交于A、B、C、D，如果|AB|+|CD|=2|BC|，求直線l的方程；
（Ⅲ）過點Q（4，2）的任一直線（不過P點）與拋物線C交于A、B兩點，直線AB與直線y=x+4交于點M，記直線PA、PB、PM的斜率分別為k₁、k₂、k₃，問是否存在實數(shù)λ，使得k₁+k₂=λk₃，若存在，求出λ的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出4+

p

2

=5，由此能求出拋物線C的方程．
（Ⅱ）圓E：（x-1）²+y²=1，設(shè)l的方程為x=my+1，聯(lián)立

y2=4x x=my+1

，得y²-4my-4=0，由此能求出l的方程．
（Ⅲ）設(shè)AB的方程為y-2=k（x-4），由

y-2=k(x-4) y2=4x

，得ky²-4y+8-16k=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由此能推導(dǎo)出存在實數(shù)λ，使得k₁+k₂=λk₃，且λ=2．

解答： 解：（Ⅰ）點P（4，a）（a＞0）在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，
P點到拋物線C的焦點F的距離為5，
∴4+

p

2

=5，∴p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x．
（Ⅱ）圓E：（x-1）²+y²=1，設(shè)l的方程為x=my+1，
聯(lián)立

y2=4x x=my+1

，得y²-4my-4=0，
∴

△=16m+16＞0 y1+y2=4m y1•y2=-4

，
∴|AB|+|CD|=|AD|-|BC|，∴|AD|=3|BC|=6，
即

1+m2

|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=4

m2+1

，
∴4（m²+1）=6，∴m=±

2

2

，
∴l(xiāng)的方程

2

x-y-

2

=0或

2

x+y-

2

=0．
（Ⅲ）∵直線AB的斜率存在，設(shè)AB的方程為y-2=k（x-4），
由

y-2=k(x-4) y2=4x

，得ky²-4y+8-16k=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1+y2=

4

k

，y1y2=

8-16k

k

，
∴k1=

y1-4

x1-4

=

y1-4

y12 4 -4

=

4

y1+4

，
∴k₂=

4

y2+4

，
k₁+k₂=

4

y1+4

+

4

y2+4

=

4(y1+y2)+32

y1y2+4(y1+y2)+16

=

4× 4 k +32

8-16k k +4× 4 k +16

=

32k+16

8-16k+16+16k

=

4k+2

3

，
由

y-2=k(x-4) y=x+4

，得xM=

4k+2

k-1

，yM=

8k-2

k-1

，
∴k3=

8k-2 k-1 -4

4k+2 k-1 -4

=

2k+1

3

，
∴k₁+k₂=2k₃．
∴存在實數(shù)λ，使得k₁+k₂=λk₃，且λ=2．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查直線方程的求法，考查實數(shù)值是否存在的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．