已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+1-lnx.
(Ⅰ)若f(x)在x=1處取得極值,求a的值;
(Ⅱ)若f(x)既有極大值又有極小值,求a的取值范圍.
分析:(I)根據(jù)f′(1)=0可求a值,注意檢驗(yàn);
(Ⅱ)由題意可得f′(x)=0有兩個(gè)不等正根,根據(jù)二次方程根的分布可得a的不等式;
解答:解:f′(x)=-2x+a-
1
x
,
(I)由于f(x)在x=1處取得極值,所以f′(1)=-2+a-1=0,解得a=3,
經(jīng)檢驗(yàn)知,當(dāng)a=3時(shí),f(x)取得極值,所以a=3;
(II)令f′(x)=-2x+a-
1
x
=0,得2x2-ax+1=0,
由題意有
a
4
>0
△=a2-8>0
,解得a>2
2
,
∴a的取值范圍為(2
2
,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、二次方程根的分布問(wèn)題,屬基礎(chǔ)題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對(duì)稱,求φ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時(shí)f(x)的表達(dá)式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實(shí)數(shù)a的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實(shí)數(shù)m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項(xiàng)和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對(duì)于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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