Question

在直角坐標平面上有兩個區(qū)域M和N．M是由y≥0，y≤x和y≥2－x這三個不等式確定的．N是隨t變化的區(qū)域，它由不等式t≤x≤t＋1的確定，t的取值范圍是0≤t≤1．設(shè)M和N的公共面積是函數(shù)f(t)，求證：f(t)＝－t²＋t＋．

Answer 1

答案：
解析：

　　思路與技巧：這是一個基本問題，關(guān)鍵是確定M和N的公共部分的形狀．可先畫出M、N這兩個區(qū)域，然后再作判斷．

　　證明：如圖所示，依題意，區(qū)域M是圖中△AOB，區(qū)域N是直線x＝t與x＝t＋1(0≤t≤1)之間的帶形域．M和N的公共部分為圖中的陰影部分五邊形ACDEF(包括邊界)，其面積可由△AOB的面積減去Rt△ODC、Rt△BEF的面積進行計算．

　　

　　評析：關(guān)于五邊形ACDEF面積的計算，可從下面三個途徑去考慮：

　　(1)△AOB的面積減去Rt△ODC、Rt△BEF的面積；

　　(2)過A作x軸的垂線，將其劃分為兩個直角梯形來計算；

　　(3)連結(jié)CF，將其劃分為一個直角三角形CAF和一個直角梯形CDEF去求解．