Question

（2012•許昌縣一模）已知函數(shù)f（x）=

x2-5x+10

x-3

，g（x）=x³-2a²x+a³-4
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若存在實數(shù)a使得對于任意給定x₁∈[0，t]，都有x₂∈[0，2]，使f（x₂）=g（x₁），求t的最大值．

Answer 1

分析：（I）函數(shù)的定義域為（-∞，3）∪（3，+∞），求導函數(shù)，令f′（x）＞0，可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；令f′（x）＜0，x≠3，可得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（II）確定x∈[0，2]時，函數(shù)f（x的值域，若命題成立，等價于g（x）在[0，t]上的值域是[-4，-3]的子集，對g（x）=x³-2a²x+a³-4，求導函數(shù)，再進行分類討論．①當a=0時，g（x）在R上是增函數(shù)，從而0≤x≤t時，-4≤g（x）≤t²-4，故只需t²-4≤-3；②a≠0，要使命題成立，只需-4≤g（0）≤-3，從而g′（x）=3（x+

2 3

a）（x-

2 3

a），確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)g（x）的最小值，從而可求t的取值的最大值．

解答：解：（I）函數(shù)的定義域為（-∞，3）∪（3，+∞）
求導函數(shù)可得f′（x）=

(2x-5)(x-3)-(x2-5x+10)

(x-3)2

=

(x-1)(x-5)

(x-3)2

令f′（x）＞0，可得x＜1或x＞5；令f′（x）＜0，x≠3可得1＜x＜3或3＜x＜5
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1），（5，+∞）；f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，3），（3，5）；
（II）當x∈[0，2]時，f(x)=(x-3)+

4

x-3

+1在[0，1]上單調(diào)增，在[1，2]上單調(diào)遞減，∴f（x）∈[-4，-3]
若命題成立，等價于g（x）在[0，t]上的值域是[-4，-3]的子集
∵g（x）=x³-2a²x+a³-4
∴g′（x）=3x²-2a²=3（x+

2 3 a2

）（x-

2 3 a2

）
①當a=0時，g′（x）=3x²＞0，∴g（x）在R上是增函數(shù)
∴0≤x≤t時，-4≤g（x）≤t²-4
∴只需t²-4≤-3，∴-1≤t≤1
②a≠0，∵g（0）=a³-4
要使命題成立，只需-4≤g（0）≤-3，∴-4≤a³-4≤-3
∴0≤a≤1
∴g′（x）=3（x+

2 3

a）（x-

2 3

a）
∴函數(shù)g（x）在（-∞，-

2 3

a）上單調(diào)增，在（-

2 3

a，

2 3

a）上單調(diào)減，在（

2 3

a，+∞）上單調(diào)增
當t＞

2 3

a時，g（x）在x=

2 3

a處取得最小值，∴g(x)≥g(

2 3

a)=(1-

4

9

6

)a3-4＜-4舍去；
當t≤

2 3

a時，g（x）在x=t處取得最小值g（t），g（t）=t³-2a²t+a³-4，只需g（t）≥-4
∴t³-2a²t+a³-4≥-4
∴（t-a）（t+

5 +1

2

a）（t-

5 -1

2

a）≥0
從而t的取值的最大值為

5 -1

2

綜上所述，t的最大值是1．

點評：本題以函數(shù)為載體，考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查存在性問題，考查分類討論的數(shù)學思想，正確運用導數(shù)，合理分類是關鍵．