Question

如圖所示，CD為Rt△ABC斜邊AB邊上的中線，CE⊥CD，CE=，連接DE交BC于點(diǎn)F，AC=4，BC=3．
求證：（1）△ABC∽△EDC；　 （2）DF=EF．

Answer 1

證明：（1）∵CD為Rt△ABC斜邊AB邊上的中線
∴CD=AB==．
∴=，∠ACB=∠DCE=90°．
∴△ABC∽△EDC．
（2）因?yàn)椤鰽BC∽△EDC
∴∠B=∠CDE，∠E=∠A．
由CD為Rt△ABC斜邊AB邊上的中線得：CD=AD=DB?∠B=∠DCB，∠A=∠DCA
∴∠DCB=∠CDE?DF=CF；
又因?yàn)椋骸螪CA+∠DCB=∠DCB+∠BCE=90°；
∴∠DCA=∠BCE=∠A=∠E
∴CF=EF．
∴DF=EF．
分析：（1）直接根據(jù)CD為Rt△ABC斜邊AB邊上的中線求出CD的長，再根據(jù)=，∠ACB=∠DCE=90°即可證明結(jié)論；（2）先根據(jù)第一問的結(jié)論得到∠B=∠CDE，∠E=∠A；再根據(jù)CD為Rt△ABC斜邊AB邊上的中線得到CD=AD=DB?∠B=∠DCB，∠A=∠CDA即可求出DF=CF；最后根據(jù)：∠CDA+∠DCB=∠DCB+∠BCE=90°；得到CF=EF即可證明結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直角三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是解答本題的關(guān)鍵．