Question

已知f(x)=

1

3

x3+ax+b(a，b∈R)在x=2處取到極小值-

4

3

．
（1）求a，b的值； 
（2）若 f(x)≤m2+m+

10

3

對(duì)x∈[-4，3]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)．令f′（x）=0，根據(jù)f（x）在x=2取到極小值-

4

3

列出關(guān)于a，b的方程即可求得a，b的值；
（2）由（1）可知f（x）=

1

3

x3-4x+4，令f'（x）=0得x=±2，列表判斷極大值極小值點(diǎn)，再根據(jù)f（x）在[-4，3]上最大值為

28

3

得到關(guān)于m的不等關(guān)系，解此不等關(guān)系即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）依題意，得f'（x）=x²+a
∵f（x）在x=2取到極小值-

4

3

∴

f′(2)=0 f(2)=- 4 3

∴

a+4=0 8 3 +2a+b=- 4 3

得：

a=-4 b=4

．
（2）由（1）可知f（x）=

1

3

x3-4x+4，令f'（x）=0得x=±2

x	（-4，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，3）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值 28 3	↘	極小值	↗

又f（-4）=-

4

3

，f（3）=1，
∴f（x）在[-4，3]上最大值為

28

3

由f（x）≤m²+m+

10

3

對(duì)一切x∈[-4，3]恒成立，故

28

3

≤m2+m+

10

3

⇒m≥2或m≤-3．即為實(shí)數(shù)m的取值范圍．

點(diǎn)評(píng)：在高中階段，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要而有效的工具之一，包括函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值等，本題就是利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值．近兩年的高考題中，對(duì)導(dǎo)數(shù)部分的考查是越來(lái)越常見，其重要性也不言而喻．