Question

定義在R₊上的函數(shù)f（x）對任意實(shí)數(shù)a，b∈R₊，均有f（ab）=f（a）+f（b）成立，且當(dāng)x＞1時，f（x）＜0．
（1）求f（1）
（2）求證：f（x）為減函數(shù)．
（3）當(dāng)f（4）=-2時，解不等式f（x-3）+f（5）≥-1．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用抽象解析式求函數(shù)值f（1），可利用賦值法，令a=b=1．
（2）證明單調(diào)性，利用定義設(shè)出x₁＜x₂，關(guān)鍵是利用f（ab）=f（a）+f（b），構(gòu)造出f（x₂）-f（x₁）的式子，可得f（x₂）-f（x₁）=，從而可得證明結(jié)果．
（3）的求解要充分利用（2）的結(jié)論，脫去函數(shù)符號以及得出-1=f（2），進(jìn)而轉(zhuǎn)化為不等式組求解是關(guān)鍵所在．
解答：解：（1）由題意令a=b=1得，
f（1×1）=f（1）+f（1），
得f（1）=0．
（2）設(shè)x₁，x₂∈R₊，x₁＜x₂，則，
所以＜0，
故f（x₂）==+f（x₁），
所以f（x₂）-f（x₁）=＜0，
 所以f（x₂）＜f（x₁），從而f（x）為R₊上的減函數(shù)．
（3）由已知f（4）=f（2•2）=f（2）+f（2）=-2，得f（2）=-1，
所以原不等式化為：f（（x-3）•5）≥f（2），
又有（2）的結(jié)論可得：，
解之得：．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的概念，函數(shù)的求值，單調(diào)性的判斷與證明，注重考查了抽象函數(shù)的概念，解抽象不等式問題．