分析 (1)證明一條直線垂直一個(gè)平面,只需要證明這條直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線即可.
(2)求異面直線所成的角的值,首先通過(guò)平移相交,證明異面直線的角,再進(jìn)行計(jì)算.
解答 解:(1)證明:在正方體ABCD-A1B1C1D1中,
BB1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以AC⊥BB1
又∵AC⊥BD,BD,BB1?平面BB1D1D,BD∩BB1,
所以AC⊥平面BB1D1D;
(2)由題意,設(shè)AC∩BD=O,連結(jié)OE,則O、E分別是BD、DD1的中點(diǎn),所以O(shè)E∥BD1,所以∠OEA=θ就是直線BD1與AE所成的角.
由(1)知,AC⊥平面BB1D1D,又OE?平面BB1D1D,所以AC⊥OE.
設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2a,
則$AO=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}a$,$AE=\sqrt{A{D^2}+D{E^2}}=\sqrt{4{a^2}+{a^2}}=\sqrt{5}a$,
在Rt△AOE中,$sinθ=\frac{AO}{AE}=\frac{{\sqrt{2}a}}{{\sqrt{5}a}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$,
所以:直線BD1與AE所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的證明方法以及異面直線所成角的計(jì)算.屬于基礎(chǔ)題.
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的大小關(guān)系為( )
A. B.
C. D.
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