Question

0＜a≤是函數(shù)f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)的（ ）條件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要

Answer 1

【答案】分析：對(duì)a進(jìn)行討論，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)，當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，此時(shí)分兩種情況，當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)開口向上，先減后增，當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)開口向下，先增后減，求出函數(shù)f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上的減函數(shù)的充要條件再進(jìn)行判斷即可．
解答：解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)f（x）=-2x+2為遞減函數(shù)，
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，二次函數(shù)開口向上，先減后增，故函數(shù)對(duì)稱軸為x=，解得；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)開口向下，先增后減，
函數(shù)f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上不可能為減函數(shù)，故舍去．
故函數(shù)f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上的減函數(shù)的充要條件為0≤a≤
由0＜a≤能推出0≤a≤，但由0＜a≤不能推出0≤a≤，
故0＜a≤是函數(shù)f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)的充分不必要條件．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性和對(duì)稱軸、充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．