Question

19．已知函數(shù)f（x）=4tan（x+$\frac{π}{6}$）cos²（x+$\frac{π}{6}$）-1．
（Ⅰ）求f（x）的定義域與最小正周期；
（Ⅱ）討論f（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{3}$）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)有意義，x+$\frac{π}{6}≠\frac{π}{2}+kπ$，可得定義域，利用三角函數(shù)有關(guān)系公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期；
（Ⅱ）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增減區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增減區(qū)間，根據(jù)x∈（0，$\frac{π}{3}$）上時(shí)，可得f（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{3}$）上的單調(diào)性．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=4tan（x+$\frac{π}{6}$）cos²（x+$\frac{π}{6}$）-1．
∵正切函數(shù)的定義域滿足，x+$\frac{π}{6}≠\frac{π}{2}+kπ$，
可得：x≠$\frac{π}{3}+kπ$，k∈Z
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠$\frac{π}{3}+kπ$，k∈Z}，
函數(shù)f（x）化簡(jiǎn)可得：f（x）=$\frac{4sin（x+\frac{π}{6}）}{cos（x+\frac{π}{6}）}×co{s}^{2}（x+\frac{π}{6}）-1$=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（Ⅱ）∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{3}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z
得：$-\frac{5π}{12}+kπ≤x≤kπ+\frac{π}{12}$，
∵x∈（0，$\frac{π}{3}$）上時(shí)，
令k=0，可得f（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{12}$]上是單調(diào)增區(qū)間．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{3}$$≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$\frac{π}{12}+kπ≤x≤kπ+\frac{7π}{12}$，
∵x∈（0，$\frac{π}{3}$）上，
令k=0，可得f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）上是單調(diào)減區(qū)間．
∴f（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{3}$）上時(shí)，（0，$\frac{π}{12}$]是單調(diào)增區(qū)間，[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）上是單調(diào)減區(qū)間．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．