Question

對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如：[-2.5]=-3，[2.5]=2，[2]=2，那么[log₂1]+[log₂2]+…+[log₂1024]=

1. A.
   8204
2. B.
   4102
3. C.
   2048
4. D.
   1024

Answer 1

A
分析：根據(jù)高斯函數(shù)的定義，將所求的1024個(gè)數(shù)進(jìn)行取整，找到規(guī)律然后運(yùn)用數(shù)列求和的方法求出該式子的值．
解答：當(dāng)2ⁿ≤x＜2 ⁿ⁺¹時(shí)，[log₂x]=n，
因此所求的值為：[log₂1]+[log₂2]+…+[log₂1024]中有1個(gè)0，2個(gè)1，2²個(gè)2，2³個(gè)3，2^，4個(gè)4，…，2⁹個(gè)9，1個(gè)10．
因此：設(shè)所求的和為S=0+2×1+2²×2+2³×3+…+2⁹×9+10①
2S=2²×1+2³×2+…+2¹⁰×9+20 ②，
①-②，得-S=2+2²+2³+…+2⁹-2¹⁰×9-10=-2¹⁰×9-10=-2¹⁰×8-12=-8204，
故所求的和為S=8204．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義問(wèn)題的求解思路，考查數(shù)列求和中的錯(cuò)位相減求和方法．關(guān)鍵要找準(zhǔn)所求和的規(guī)律，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用．