Question

 

設(shè)函數(shù)（），其中。

（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時，求函數(shù)的極大值和極小值；

   （Ⅲ）當(dāng)時，在區(qū)間上是否存在實數(shù)使不等式

對任意的恒成立 , 若存在,求出的值,若不存在,說明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ）當(dāng)時，，得，且

      ，．

      所以，曲線在點處的切線方程是，

      整理得．            ……………………………………………………4分

  （Ⅱ） 解：

   ．

        令，解得或．         … ………………………………………5分

        由于，以下分兩種情況討論．

      （1）若，當(dāng)變化時，的正負(fù)如下表：

     因此，函數(shù)在處取得極小值，且；

     函數(shù)在處取得極大值，且．   ………………………………7分

    （2）若，當(dāng)變化時，的正負(fù)如下表：

   因此，函數(shù)在處取得極小值，且；

   函數(shù)在處取得極大值，且．   ……………………9分

（Ⅲ） 假設(shè)在區(qū)間上存在實數(shù)滿足題意.

    由，得，當(dāng)時，

    ，．        ……………………………………………………10分

    由（Ⅱ）知，在上是減函數(shù)，

    要使，

    只要

    即       ①           ……………………………………12分

    設(shè)，則函數(shù)在上的最大值為．

    要使①式恒成立，必須，即或．

   所以，在區(qū)間上存在，使得對任意的恒成              立．                                                ……………………………………14分