Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=3，F(xiàn)為線段DE上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）若F為DE的中點(diǎn)，求證：BE∥平面ACF；
（Ⅱ）若二面角E-BC-F與二面角F-BC-D的大小相等，求DF長．

Answer 1

【答案】分析：（I）連接AC，BD交于O，連OF，利用三角形的中位線平行于底邊得到OF∥BE，利用直線與平面平行的判定定理得證．
（II）法一：利用二面角的平面角的定義，通過作輔助線，利用線面垂直的判定定理及線面垂直的性質(zhì)找出二面角E-BC-D的平面角與二面角F-BC-D的平面角，利用已知條件得到線段的長度關(guān)系．
法二：通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)面的法向量，利用向量的數(shù)量積公式求出二面角E-BC-F的余弦值，同理求出二面角D-BC-F的余弦值，根據(jù)已知它們的絕對值相等，列出方程求出DF的長度．
解答：證明：（Ⅰ）連接AC，BD交于O，連OF，如圖1
∵F為DE中點(diǎn)，O為BD中點(diǎn)，
∴OF∥BE，OF?平面ACF，BE?平面ACF，
∴BE∥平面ACF．…（6分）
（Ⅱ）如圖2，過E作EH⊥AD于H，過H作MH⊥BC
于M，連接ME，同理過F作FG⊥AD于G，過G作NG⊥BC于N，連接NF，
∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD，
∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE，
∴CD⊥平面DAE，EH?平面DAE，
∴CD⊥EH，CD∩AD=D，CD，AD?平面ABCD，EH⊥平面ABCD，
∴HE⊥BC，
∴BC⊥平面MHE，
∴∠HME為二面角E-BC-D的平面角，
同理，∠GNF為二面角F-BC-D的平面角，
∵M(jìn)H∥AB，
∴，
又，
∴，而∠HME=2∠GNF，
∴，
∴，，
又GF∥HE，
∴，
∴．…（15分）
解法二：
（Ⅱ）∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD，
∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE，
∴CD⊥平面DAE，如圖建立坐標(biāo)系，
則E（3，0，0），F(xiàn)（a，0，0），，A（3，0，3），D（0，0，0）
由得，設(shè)平面ABCD，
且，
由
設(shè)平面BCF，且，
由
設(shè)平面BCE，且，
由
設(shè)二面角E-BC-F的大小為α，二面角D-BC-F的大小為β，α=β，，
∴，
∵0＜a＜3，∴．…（15分）
點(diǎn)評：主要考查了空間直線與平面的位置關(guān)系和二面角等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查了空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．
在高考中以解答題的形式出現(xiàn)，常用的工具是空間向量．