Question

設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，點(diǎn)P（a_n，S_n）在直線y=2x-2上（n∈N⁺）。
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求使T_n>2011的n的最小值；
（3）設(shè)正數(shù)數(shù)列{c_n}滿足，證明：數(shù)列{c_n} 中的最大項(xiàng)是c₂。

Answer 1

解：（1）依題意得S_n=2a_n-2，則n≥2時(shí)

∴n≥2時(shí)

即
又n=1時(shí)，a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列
∴。
（2）依題意
∴

由T_n＞2011得
即
當(dāng)n≤1006（n∈N*）時(shí)，
當(dāng)n≥1007（n∈N*）時(shí)

因此n的最小值為1007。
（3）由已知得
即（n+1）lnc_n=ln（n+1）
∴
令
則
∵當(dāng)x≥3時(shí)，lnx>1，則1-lnx＜0，即f'（x）＜0
∴f（x）在[3，+∞）內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，
∴n≥2時(shí)，{lnc_n}是遞減數(shù)列，即{c_n}是遞減數(shù)列
∵c_n>0，
∴
∴數(shù)列{c_n}中的最大項(xiàng)為。