Question

求下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)：
(1)-

1

2×4

，

4

5×7

，-

9

8×10

，

16

11×13

，…；
（2）數(shù)列的前n項(xiàng)的和S_n=2n²+n+1；
（3）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=1+ra_n（r為不等于0，1的常數(shù)）．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)各項(xiàng)的符號(hào)確定（-1）ⁿ，再由各項(xiàng)分子是序號(hào)的平方從而可得到分子為n²，再由分母的形式可確定分母為（3n-1）（3n+1），進(jìn)而可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）先令n=1可得到a₁的值，再由當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=4n-1，最后驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)的值，得到答案．
（3）先根據(jù)S_n=1+ra_n可得到S_n-1=1+ra_n-1，再由當(dāng)n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1=r（a_n-a_n-1），可得到

an

an-1

=

r

r-1

，可確定數(shù)列{a_n}是公比為

r

r-1

的等比數(shù)列，最后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得到答案．

解答：解：（1）an=(-1)n

n2

(3n-1)(3n+1)

．
（2）當(dāng)n=1時(shí)a₁=S₁=4，當(dāng)n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1=4n-1，
顯然a₁不適合a_n=4n-1
∴an=

4     (n=1) 4n-1   (n≥2)

．
（3）由S_n=1+ra_n可得當(dāng)n≥2時(shí)S_n-1=1+ra_n-1，
∴S_n-S_n-1=r（a_n-a_n-1），
∴a_n=ra_n-ra_n-1，∴a_n（r-1）=ra_n-1，∵r≠1，
∴

an

an-1

=

r

r-1

，∵r≠0，
∴{a_n}是公比為

r

r-1

的等比數(shù)列．
又當(dāng)n=1時(shí)，S₁=1+ra₁，∴a1=

1

1-r

，
∴an=

1

1-r

(

r

r-1

)n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法--觀察法和利用S_n與a_n的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化法．求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列考查的重點(diǎn)，要熟練掌握．