Question

三棱錐P-ABC中，側(cè)面PAC與底面ABC垂直，PA=PB=PC=3．
（1）求證AB⊥BC；
（2）如果AB=BC=2，求AC與側(cè)面PBC所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AC中點(diǎn)O，連接PO、BO．推出PO⊥AC，利用側(cè)面PAC⊥底面ABC，推出PO⊥底面ABC，說明△ABC為直角三角形，從而證明AB⊥BC
（2）取BC的中點(diǎn)為M，連接OM，PM，所以有OM，AO，PO，證明平面POM⊥平面PBC，取PM的中點(diǎn)N，連接ON，NC
證明ON⊥平面PBC，說明∠ONC即為AC與平面PBC所成的角．通過，推得AC與平面PBC所成的角為．
解答：解：（1）證明：取AC中點(diǎn)O，連接PO、BO．
∵PA=PC∴PO⊥AC
又∵側(cè)面PAC⊥底面ABC
∴PO⊥底面ABC
又PA=PB=PC∴AO=BO=CO
∴△ABC為直角三角形∴AB⊥BC

（2）解：取BC的中點(diǎn)為M，連接OM，PM，所以有OM=AB=，AO=
∴
由（1）有PO⊥平面ABC，OM⊥BC，由三垂線定理得PM⊥BC
∴平面POM⊥平面PBC，又∵PO=OM=．
∴△POM是等腰直角三角形，取PM的中點(diǎn)N，連接ON，NC
則ON⊥PM，又∵平面POM⊥平面PBC，且交線是PM，∴ON⊥平面PBC
∴∠ONC即為AC與平面PBC所成的角.
∴∴．
故AC與平面PBC所成的角為．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查直線與平面所成角正弦值的求法，直線與直線的垂直的證明方法，考查空間想象能力，計(jì)算能力，熟練掌握基本定理、基本方法是解決本題的關(guān)鍵．