Question

設(shè)非空集合S={x|m≤x≤n}滿足：當(dāng)x∈S時(shí)，有x²∈S．給出如下三個(gè)命題：①若m=1，則S={1}；②若m=-

1

2

，則

1

4

≤n≤1；③若n=

1

2

，則-

2

2

≤m≤0．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：根據(jù)題中條件：“當(dāng)x∈S時(shí)，有x²∈S”對(duì)三個(gè)命題一一進(jìn)行驗(yàn)證即可：對(duì)于①m=1，得

n2≤n n≥1

，②m=-

1

2

，則

n2≤n 1 4 ≥1

對(duì)于③若n=

1

2

，則

1 2 ≥m 1 2 ≥m2

，最后解出不等式，根據(jù)解出的結(jié)果與四個(gè)命題的結(jié)論對(duì)照，即可得出正確結(jié)果有幾個(gè)．

解答：解：由定義設(shè)非空集合S={x|m≤x≤n}滿足：當(dāng)x∈S時(shí)，有x²∈S知，符合定義的參數(shù)m的值一定大于等于1或小于等于0，惟如此才能保證m∈S時(shí)，有m²∈S即m²≥m，符合條件的n的值一定大于等于0，小于等于1，惟如此才能保證n∈S時(shí)，有n²∈S即n²≤n，正對(duì)各個(gè)命題進(jìn)行判斷：
對(duì)于①m=1，m²=1∈S故必有

n2≤n n≥1

可得n=1，S={1}，
②m=-

1

2

，m²=

1

4

∈S則

n2≤n 1 4 ≤n

解之可得

1

4

≤n≤1；
對(duì)于③若n=

1

2

，則

1 2 ≥m m2≥m 1 2 ≥m2

解之可得-

2

2

≤m≤0，
所以正確命題有3個(gè)．
故選D

點(diǎn)評(píng)：本小題考查集合的運(yùn)算及不等式和不等式組的解法．屬于創(chuàng)新題，解答的關(guān)鍵是對(duì)新定義的概念的正確理解，列出不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式問題解決．