Question

已知函數(shù)（a＞0）．
（1）若函數(shù)f（x）有三個零點分別為x₁，x₂，x₃，且x₁+x₂+x₃=-3，x₁x₂=-9，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若，3a＞2c＞2b，證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)一定有極值點；
（3）在（2）的條件下，若函數(shù)f（x）的兩個極值點之間的距離不小于，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)函數(shù)零點的概念，x₁，x₂，x₃，即為=0的三個實數(shù)根，則x₃=0，結合韋達定理得出，，由此f′（x）=a（x-1）（x+3），單調區(qū)間可求．
（2）由條件得出f′（1）=a+b+c=＜0，整理3a+2b+2c=0，又f′（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．考察f′（0），f′（1），f′（2）的符號，利用f′（x）在（0，2）內(nèi)由零點（需對c的取值進行討論）進行證明．
（3）設m，n是函數(shù)的兩個極值點，則m，n也是導函數(shù) f′（x）=ax²+bx+c=0的兩個零點．可得出|m-n|，關于的不等式，并結合約束條件2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b得出取值范圍．
解答：（1）因為函數(shù)=x（）（a＞0），又x₁+x₂+x₃=-3，x₁x₂=-9，則x₃=0，x₁+x₂=-3，x₁x₂=-9（1分）
因為x₁，x₂是方程=0的兩根，
則，，得，，（3分）
所以=a（x²+2x-3）=a（x-1）（x+3）．
令 f′（x）=0 解得：x=1，x=-3
故f（x）的單調遞減區(qū)間是（-3，1），單調遞增區(qū)間是（-∞，-3），（1，+∞）． （5分）
（2）因為 f′（x）=ax²+bx+c，，，所以a+b+c=，即3a+2b+2c=0．
又a＞0，3a＞2c＞2b，，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0．b＜0．（7分）
于是＜0，f′（0）=c，f′（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．（8分）
①當c＞0時，因為f′（0）=c＞0，＜0，而f′（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)連續(xù)，則f′（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個零點，設為x=m，則在x∈（0，m），f′（x）＞0，
f（x）單調遞增，在x∈（m，1），f′（x）＜0，f（x）單調遞減，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有極大值點x=m； （9分）
②當c≤0時，因為＜0，f′（2）=a-c＞0，則f′（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一零點．
同理，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)有極小值點．
綜上得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)一定有極值點． （10分）
（3）設m，n是函數(shù)的兩個極值點，則m，n也是導函數(shù) f′（x）=ax²+bx+c=0的兩個零點，由（2）得
3a+2b+2c=0，則m+n=-，mn==．所以|m-n|===  
由已知，，則兩邊平方≥3，得出≥1，或≤-1，即≥-1，或≤-3
又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以3a＞-3a-2b＞2b，即-3a＜b＜-a．
因為a＞0，所以-3＜＜-．
綜上分析，的取值范圍是[-1，-）．
點評：本題是函數(shù)與不等式的綜合．考查函數(shù)零點的知識，導數(shù)在研究函數(shù)性質的應用，不等式的性質．需具有分析解決、代換轉化，推理計算能力．