Question

已知橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，長軸是短軸的2倍，且橢圓E過點(diǎn)(

2

，

2

2

)；斜率為k（k＞0）的直線l過點(diǎn)A（0，2），

n

為直線l的一個法向量，坐標(biāo)平面上的點(diǎn)B滿足條件|

n

•

AB

|=|

n

|．
（1）寫出橢圓E方程，并求點(diǎn)B到直線l的距離；
（2）若橢圓E上恰好存在3個這樣的點(diǎn)B，求k的值．

Answer 1

（1）由題意得

a=2b 2 a2 + 1 2 b2 =1

解得a²=4，b²=1，
∴橢圓E方程為：

x2

4

+y2=1．
直線l的方程為y=kx+2，其一個法向量

n

=(k，-1)，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（x₀，y₀），由

AB

=(x0，y0-2)及|

n

•

AB

|=|

n

|得|kx0-y0+2|=

1+k2

，
∴B（x₀，y₀）到直線y=kx+2的距離為d=

|kx0-y0+2|

1+k2

=1．
（2）由（1）知，點(diǎn)B是橢圓E上到直線l的距離為1的點(diǎn)，即與直線l的距離為1的二條平行線與橢圓E恰好有三個交點(diǎn)．
設(shè)與直線l平行的直線方程為y=kx+t
由

y=kx+t x2 4 +y2=1

得x²+4（kx+t）²=4，即（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0△=64k²t²-4（1+4k²）（4t²-4）=16（1+4k²-t²）①
當(dāng)△=0時，k2=

t2-1

4

②
又由兩平行線間的距離為1，可得

|t-2|

1+k2

=1③
把②代入③得(t-2)2=1+

t2-1

4

，即3t²-16t+13=0，（3t-13）（t-1）=0
解得t=1，或t=

13

3

當(dāng)t=1時，代入②得k=0，與已知k＞0不符，不合題意；
當(dāng)t=

13

3

時，代入②得k=

2 10

3

，代回③得t=

13

3

或t=

1

3

當(dāng)k=

2 10

3

，t=

1

3

時，由①知△＞0
此時兩平行線y=

2 10

3

x+

13

3

和y=

2 10

3

x+

1

3

，與橢圓E有三個交點(diǎn)，
∴k=

2 10

3

．