Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，棱長(zhǎng)為4，E為面A₁D₁DA的中心，
CF=3FC₁，AH=3HD，
（1）求異面直線EB₁與HF之間的距離
（2）求二面角H-B₁E-A₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）求出異面直線EB₁與HF的方向向量，以及與它們垂直的向量

n

，異面直線EB₁與HF之間的距離等于

EH

在

n

方向上投影的絕對(duì)值．
（2）求出平面HB₁E的法向量為

m1

，平面A₁B₁E的法向量為

m2

，二面角H-B₁E-A₁的平面角的余弦值的絕對(duì)值等于

m1

，

m2

夾角的余弦絕對(duì)值．

解答：解：如圖建立直角坐標(biāo)系D₁-xyz，則E（2，0，2），B₁（4，4，0），H（1，0，4）
（1）

EB1

=（2，4，-2），

HF

=（-1，4，-3）

EH

=（-1，0，2），設(shè)

n

=（x，y，z）

n • EB1 =0 n • HF =0

即

2x+4y-2z=0 -x+4y-3z=0

，取x=1，則z=-3，y=-2，
則

n

=（1，-2，-3）
異面直線EB₁與HF之間的距離為

| n • EH |

| n |

=

|-1+0-6|

14

=

14

2

（2））

EB1

=（2，4，-2），

EA1

=（2，0，-2），

EH

=（-1，0，2），
設(shè)平面HB₁E的法向量為

m1

=（x，y，z）
則

m1 •  EH =0 m1 • EB1 =0

即

2x+4y-2z=0 2x-2z=0

取x=2，則y=

1

2

，z=1．∴

m1

=（2，

1

2

，1）
 令平面A₁B₁E的法向量為

m2

=（x，y，z）
則

m2 • EB1 =0 m2 • EA1 =0

取x=1，y=0，z=1，則為

m2

=（1，0，1）
∴|cos＜

m1

，

m2

＞|=

| m1 • m2 |

|m1| |m2 |

=

42

7

．
∵二面角H-B₁E-A為鈍二面角．
∴二面角H-B₁E-A₁的平面角的余弦值為-

42

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線距離，二面角的大小計(jì)算．做題的關(guān)鍵是熟練掌握向量法求異面直線距離、二面角的公式與步驟，利用向量法求空間距離、空間角是向量的一個(gè)重要運(yùn)用，向量的引入，為立體幾何中二面角求解帶來(lái)了極大的方便，題后應(yīng)注意總結(jié)此法求二面角的規(guī)律．