Question

在數(shù)列a_n中，a₁=1，2an+1=(1+

1

n

)2•an．
（Ⅰ）證明數(shù)列{

an

n2

}是等比數(shù)列，并求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令bn=an+1-

1

2

an，求數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件得

an+1

(n+1)2

=

1

2

•

an

n2

，從而得到an=

n2

2n-1

．
（Ⅱ）由bn=

(n+1)2

2n

-

n2

2n

=

2n+1

2n

，得Sn=

3

2

+

5

22

+… +

2n+1

2n

，再用錯(cuò)位相減法能夠得到數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（Ⅰ）由條件得

an+1

(n+1)2

=

1

2

•

an

n2

，（2分）
又n=1時(shí)，

an

n2

=1，（3分）
故數(shù)列{

an

n2

}構(gòu)成首項(xiàng)為1，公式為

1

2

的等比數(shù)列．（4分）
從而

an

n2

=

1

2n-1

，即an=

n2

2n-1

．（6分）
（Ⅱ）由bn=

(n+1)2

2n

-

n2

2n

=

2n+1

2n

（8分）
得Sn=

3

2

+

5

22

+… +

2n+1

2n

?

1

2

Sn=

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

+

2n+1

2n+1

，
兩式相減得：

1

2

Sn=

3

2

+2(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

2n+1

2n+1

，（10分）
所以Sn=5-

2n+5

2n

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明和數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法，考查利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列前n項(xiàng)和的方法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解．