Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+x，若不等式f（-x）+f（x）≤2|x|的解集為C．
（1）求集合C；
（2）若方程f（a^x）-a^x+1=5（a＞1）在C上有解，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）已知t≤0，記f（x）在C上的值域為A，若g(x)=x3-3tx+

t

2

，x∈[0，1]的值域為B，且A⊆B，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接把函數(shù)f（x）=x²+x代入不等式，化簡解答即可．
（2）先把函數(shù)f（x）=x²+x代入方程f（a^x）-a^x+1=5（a＞1），方程f（a^x）-a^x+1=5（a＞1）在C上有解，轉(zhuǎn)化為a^x在某一范圍上有解，利用圖象及根的存在性定理，解答即可．
（3）先求A再求B，利用A⊆B轉(zhuǎn)化為不等式組，解答即可．

解答：解：（1）原不等式可轉(zhuǎn)換為2x²≤2|x|，
當(dāng)x≥0時，2x²≤2x，解得0≤x≤1 （2分）
當(dāng)x＜0時，2x²≤-2x，解得-1≤x＜0，所以C=[-1，1]（4分）
（2）由f（a^x）-a^x+1-5=0得（a^x）²-（a-1）a^x-5=0
令a^x=u，因為x∈[-1，1]，所以u∈[

1

a

，a]
則問題轉(zhuǎn)化為求u2-(a-1)u-5=0在[

1

a

，a]內(nèi)有解．（6分）
（7分）
由圖象及根的存在性定理得

h( 1 a )= 1 a2 -1+ 1 a -5≤0 h(a)=a2-(a-1)a-5≥0

（9分）
解得a≥5．（10分）
（3）A=[-

1

4

，2]g′（x）=3x²-3t≥0（因為t≤0）
所以g(x)=x3-3tx+

t

2

，在x∈[0，1]上單調(diào)遞增．
所以函數(shù)g（x）的值域B=[

t

2

，1-

5

2

t]（13分）
因為A⊆B，所以

t 2 ≤- 1 4 2≤1- 5 2 t

解得t≤-

1

2

（16分）

點評：本題考查二次不等式的解法，根的存在性定理，數(shù)形結(jié)合，
考查等價轉(zhuǎn)化思想，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是難題．