Question

在 n×n 的方格中進(jìn)行跳棋游戲．規(guī)定每跳一步只能向左，或向右，或向上，不能向下，且一次連續(xù)行走的路徑中不能重復(fù)經(jīng)過(guò)同一小方格．設(shè)f（n）表示從左下角“○”位置開始，連續(xù)跳到右上角“☆”位置結(jié)束的所有不同路徑的條數(shù)．如圖，給出了n=3 時(shí)的一條路徑．則f（3）=________；f（n）=________．

Answer 1

9    n^n-1
分析：本題看似難以入手，只要以每一個(gè)方格向上跳為切入點(diǎn)問(wèn)題就變得明朗化，從下一行的一個(gè)方格到達(dá)上一行，共有n條路徑，總共需要n-1次行跳躍．
解答：由給出的3×3方格看出，要從左下角“○”位置開始，連續(xù)跳到右上角“☆”位置，需要先從第一行跳到第二行，共有3種跳法，跳到第二行的每一個(gè)方格內(nèi)要完成到達(dá)右上角“☆”位置，又可以看作從該方格有幾種到達(dá)第三行的方法，所以該題只需思考向上走就行了，從第一行到第二行有3種跳法，從第二行到第三行也有3種跳法，故
f（3）=3²=9．由此可推得 n×n 的方格中從左下角“○”位置開始，連續(xù)跳到右上角“☆”位置的方法種數(shù)是n-1個(gè)n的乘積．即f（n）=n^n-1．
故答案分別為9；n^n-1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)單的合情推理，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答該題的關(guān)鍵是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何向上走，此題是中檔題．