Question

已知AB是經(jīng)過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F且與兩坐標(biāo)軸不垂直的一條弦，點M（-1，0）滿足∠AMF=∠BMF，則p的值是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、4
• D、2或4

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意畫出圖象作AC⊥x軸、BD⊥x軸，設(shè)AB的直線方程y=k（x-

p

2

）（k≠0），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程和拋物線方程消去y，由韋達(dá)定理求出x₁+x₂和x₁x₂式子，由∠AMF=∠BMF得tan∠AMF=tan∠BMF，由圖象得

AC

MC

=

BD

MD

，用A、B的坐標(biāo)表示出線段的長，把求出的式子代入化簡，列出關(guān)于p的方程再化簡求值．

解答： 解：如右圖作AC⊥x軸，BD⊥x軸，
由題意得設(shè)AB的直線方程為：y=k（x-

p

2

）（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

得，k2x2-(k2p+2p)x+

k2p2

4

=0，
則x₁+x₂=

k2p+2p

k2

，x₁x₂=

p2

4

，
因為∠AMF=∠BMF，所以tan∠AMF=tan∠BMF，即

AC

MC

=

BD

MD

，
不妨設(shè)x₁＞

p

2

，x₂＜

p

2

，
則AC=|y₁|=|k（x₁-

p

2

）|=|k|（x₁-

p

2

），BD=|y₂|=|k（x₂-

p

2

）|=|k|（

p

2

-x₂），
且MC=x₁，+1，MD=x₂，+1，
代入

AC

MC

=

BD

MD

得，

|k|(x1- p 2 )

x1+1

=

|k|( p 2 -x2)

x2+1

，
化簡得，2x₁x₂+（x₁+x₂）（1-

p

2

）-p=0，
則2×

p2

4

+

k2p+2p

k2

（1-

p

2

）-p=0，化簡得

2-p

k2

=0，
因為k≠0，所以p=2，
故選：B．

點評：本題考查直線與拋物線的關(guān)系，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查化簡計算能力，是中檔題．