Question

設(shè)t為實(shí)數(shù)，|

e1

|=2，|

e2

|=1，

e1

，

e2

的夾角為

π

3

，若向量2t

e1

+7

e2

與向量

e1

+t

e2

的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：由向量的數(shù)量積的定義得到，

e1

•

e2

=1，由于向量2t

e1

+7

e2

與

e1

+t

e2

的夾角為銳角，可得（2t

e1

+7

e2

）•（

e1

+t

e2

）＞0，且向量2t

e1

+7

e2

與

e1

+t

e2

不共線．分別求得t的范圍，再求交集即可．

解答： 解：由|

e1

|=2，|

e2

|=1，

e1

，

e2

的夾角為

π

3

，
則

e1

•

e2

=2×1×cos

π

3

=1，
由于向量2t

e1

+7

e2

與

e1

+t

e2

的夾角為銳角，
可得（2t

e1

+7

e2

）•（

e1

+t

e2

）＞0，
且向量2t

e1

+7

e2

與

e1

+t

e2

不共線．
由（2t

e1

+7

e2

）•（

e1

+t

e2

）＞0，
可得 2t²+15t+7＞0，解得t＞-

1

2

或t＜-7．
再由2t

e1

+7

e2

與

e1

+t

e2

不共線，
可得2t²≠7，解得 t≠±

14

2

．
綜上可得，實(shí)數(shù)t的取值范圍是 （-∞，-7）∪（-

1

2

，

14

2

）∪（

14

2

，+∞）．
故答案為：（-∞，-7）∪（-

1

2

，

14

2

）∪（

14

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，用兩個(gè)向量的數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．