Question

已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，2bcosc=2a-c
（I）求 B；
（II）若△ABC的面積為，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)正弦定理結(jié)合sinA=sin（B+C），化簡整理得2cosBsinC=sinC，結(jié)合sinC＞0解出cosB=，從而可得B=．
（2）由正弦定理的面積公式，得=，從而解出ac=4，再結(jié)合基本不等式求最值和三角形兩邊之和大于第三邊，即可得到b的取值范圍．
解答：解：（1）由正弦定理，得2sinBcosC=2sinA-sinC，----（2分）
在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴2cosBsinC=sinC，
又∵C是三角形的內(nèi)角，可得sinC＞0，∴2cosB=1，可得cosB=，
∵B是三角形的內(nèi)角，B∈（0，π），∴B=．-----（6分）
（2）∵S_△ABC==，B=
∴，解之得ac=4，----（8分）
由余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac=4，（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時，“=”成立）
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時，b的最小值為2．----（12分）
綜上所述，邊b的取值范圍為[2，+∞）----（13分）
點(diǎn)評：本題給出三角形的邊角關(guān)系，求角B的大小，并在已知面積的情況下求邊b的取值范圍．著重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形的面積公式和三角恒等變換等知識，屬于中檔題．