已知方程x2+y2-x+4y+m=0.
(1)若此方程表示圓,求的取值范圍;
(2)若(1)中的圓的直線(xiàn)x+2y-1=0相交于M、N兩點(diǎn),且OM⊥ON(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求m;
(3)在(2)得條件下,求以MN為直徑的圓的方程.
分析:(1)方程表示圓,滿(mǎn)足D2+E2-4F>0,即可求的取值范圍;
(2)聯(lián)立直線(xiàn)x+2y-1=0與圓的方程,利用OM⊥ON(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),x1x2+y1y2=0,即可求m;
(3)在(2)得條件下,直接求出N,M的坐標(biāo),即可求以MN為直徑的圓的方程.
解答:解:(l)方程x2+y2-2x-4y+m=0表示圓,
所以4+16-4m>0∴m<5.
(2)由
x+2y-4=0
x2+y2-2x-4y+m=0

得:5y2-16y+8+m=0
△>0  得m<
24
5

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2
由OM⊥ON  得x1x2+y1y2=0
即(4-2y1)(4-2y2)+y1y2=0
∴5y1y2-8(y1+y2)+16=0
5x
8+m
5
-8x
16
5
+16=0

m=
8
5

(3)在(2)得條件下,
當(dāng)m=
8
5
時(shí),M(x1,y1),N(x2,y2
得M(-
4
5
,
12
5
),N(
12
5
,
4
5

以MN為直徑的圓的方程x2+y2-
8
5
x-
16
5
y=0
點(diǎn)評(píng):本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系,圓的方程的求法,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.
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