Question

（2012•廣東模擬）已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，且a₁=2，當n≥2時有 S_n=3S_n-1+2．
（1）求證{S_n+1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）利用S_n=3S_n-1+2，得到S_n+1=3S_n-1+2+1，推出

Sn+1

Sn-1+1

，即可判斷數(shù)列{S_n+1}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列；
（2）利用（1）求出數(shù)列的前n項和公式，利用a_n=S_n-S_n-1求數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）∵S_n=3S_n-1+2
∴S_n+1=3S_n-1+2+1
∴

Sn+1

Sn-1+1

=3…（4分）
又∵S₁+1=a₁+1=3
∴數(shù)列{S_n+1}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列．…（6分）
（2）由（1）得∴Sn+1=3×3n-1=3n，
∴Sn=3n-1…（8分）
∴當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=2•3n-1…（10分）
又當n=1時，a₁=2也滿足上式，…（12分）
所以，數(shù)列{a_n}的通項公式為：an=2•3n-1…（14分）

點評：本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式，等比數(shù)列的證明，定義的應(yīng)用，通項公式的求法，考查計算能力．