設圓滿足:①截y軸所得弦長為2;②被x軸分成的兩段圓弧,其弧長之比為3∶1.在滿足①②的所有圓中,求圓心到直線l:x-2y=0的距離最小的圓的方程.

解法一:設圓心P(a,b),若半徑為r,則點P到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a|.

又P截x軸所得劣弧對的圓心角為90°,知圓P截x軸所得弦長為r,故r2=2b2.

又圓P截y軸所得弦長為2,

∴有r2=a2+1.∴2b2-a2=1.

又P到直線x-2y=0的距離為d=,

∴5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1.當且僅當a=b時等號成立,此時5d2=1,從而d取最小值.解得r=.∴方程為(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+

(y+1)2=2.

解法二:同解法一得d=,

∴a-2b=±d.

得a2=4b2±4bd+5d2.                                                       ①

把a2=2b2-1代入①,整理得2b2±4bd+5d2+1=0.                                 ②

由Δ≥0,得d≥.取等號時,b=±1.

再代入r2=2b2,得r2=2.

由r2=a2+1得a=±1.

又|a-2b|=1,

∴a、b同號.

∴方程為(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P是圓x2+y2=1上的動點，點P在y軸上的射影為Q，設滿足條件
QM
=2
QP
的點M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設過點N（1，0）且斜率為k1（k1≠0）的直線l被曲線C所截得的弦的中點為A，O為坐標原點，直線OA的斜率為k2，求k12+k22的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分，請在答題紙指定區(qū)域內作答，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：（幾何證明選講）
如圖，從O外一點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，
AB與OP交于點M，設CD為過點M且不過圓心O的一條弦，
求證：O，C，P，D四點共圓．
B．選修4-2：（矩陣與變換）
已知二階矩陣M有特征值λ=3及對應的一個特征向量e1=[
 
1
1
]，并且矩陣M對應的變換將點（-1，2）變換成（9，15），求矩陣M．
C．選修4-4：（坐標系與參數(shù)方程）
在極坐標系中，曲線C的極坐標方程為p=2
2
sin（θ-
π
4
），以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
（t為參數(shù)），求直線l被曲線C所截得的弦長．
D．選修4-5（不等式選講）
已知實數(shù)x，y，z滿足x+y+z=2，求2x2+3y2+z2的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知點P是圓x2+y2=1上的動點，點P在y軸上的射影為Q，設滿足條件數(shù)學公式的點M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設過點N（1，0）且斜率為k1（k1≠0）的直線l被曲線C所截得的弦的中點為A，O為坐標原點，直線OA的斜率為k2，求k12+k22的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年湖北省黃岡市高考數(shù)學交流試卷3（文科）（解析版） 題型：解答題

已知點P是圓x2+y2=1上的動點，點P在y軸上的射影為Q，設滿足條件的點M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設過點N（1，0）且斜率為k1（k1≠0）的直線l被曲線C所截得的弦的中點為A，O為坐標原點，直線OA的斜率為k2，求k12+k22的最小值．

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（2）設過點N（1，0）且斜率為k1（k1≠0）的直線l被曲線C所截得的弦的中點為A，O為坐標原點，直線OA的斜率為k2，求k12+k22的最小值．

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