已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）設0＜a＜b，證明0＜g（a）+g（b）-2g（
a+b2
）＜（b-a）ln2．
分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)進行求導運算，令導函數(shù)等于0求出x的值，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而可求出最大值．
（2）先將a，b代入函數(shù)g（x）得到g（a）+g（b）-2g（
a+b
2
）的表達式后進行整理，根據(jù)（1）可得到lnx＜x，將ln
2b
a+b
、ln
2b
a+b
放縮變形為ln
2b
a+b
＞-
b-a
2a
、ln
2b
a+b
＞-
a-b
2b
代入即可得到左邊不等式成立，再用
2a
a+b
＜
a+b
ab
根據(jù)y=lnx的單調(diào)性進行放縮aln
2a
a+b
+bln
2b
a+b
＜aln
a+b
2b
+bln
2b
a+b
．然后整理即可證明不等式右邊成立．
解答：（Ⅰ）解：函數(shù)f（x）的定義域為（-1，+∞）．
f′(x)=
1
1+x
-1．令f′（x）=0，解得x=0．
當-1＜x＜0時，f′（x）＞0，當x＞0時，f′（x）＜0．又f（0）=0，
故當且僅當x=0時，f（x）取得最大值，最大值為0．
（Ⅱ）證明：g(a)+g(b)-2g(
a+b
2
)=alna+blnb-(a+b)ln
a+b
2

=aln
2a
a+b
+bln
2b
a+b
．
由（Ⅰ）結(jié)論知ln（1+x）-x＜0（x＞-1，且x≠0），
由題設0＜a＜b，得
b-a
2a
＞0，-1＜
a-b
2b
＜0，
因此ln
2b
a+b
=-ln(1+
b-a
2a
)＞-
b-a
2a
，
ln
2b
a+b
=-ln(1+
a-b
2b
)＞-
a-b
2b
，
所以aln
2a
a+b
+bln
2b
a+b
＞-
b-a
2
-
a-b
2
=0．
又
2a
a+b
＜
a+b
2b
，
aln
2a
a+b
+bln
2b
a+b
＜aln
a+b
2b
+bln
2b
a+b
．=（b-a）ln
2b
a+b
＜（b-a）ln2
綜上0＜g(a)+g(b)-2g(
a+b
2
)＜(b-a)ln2．
點評：本題主要考查導數(shù)的基本性質(zhì)和應用、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)和平均值不等式等知識以及綜合推理論證的能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

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已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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