Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，一個頂點為B（0，-2），離心率為

6

3

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設過點A（0，3）的直線l與橢圓交于M、N兩點，且|BM|=|BN|，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）利用離心率e=

c

a

=

6

3

，b=2，a²=b²+c²即可得出；
（2）當直線l斜率不存在時，易知不滿足題設要求．可設直線l的方程為：y=kx+3，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．MN的中點為P（x₀，y₀）．
把直線方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，由于|BM|=|BN|，利用垂直平分即可得出直線BP的斜率．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，可設橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
橢圓一個頂點為B（0，-2），∴b=2，
∵離心率為

6

3

，∴

c

a

=

6

3

，∴

c2

a2

=

2

3

．①
又∵a²=c²+b²，∴a²=c²+4…②
     聯(lián)立①②解得，a²=12      
∴橢圓的方程為：

x2

12

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）當直線l斜率不存在時，易知不滿足題設要求．
可設直線l的方程為：y=kx+3，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．MN的中點為P（x₀，y₀）．
由 

y=kx+3 x2 12 + y2 4 =1

消去x 得 （3k²+1）x²+18kx+15=0，
要使直線l與橢圓交于M、N兩點，則必須滿足：△=（18k）²-60×（3k²+1）＞0，即 k2＞

5

12

…（*）
則x1+x2=-

18k

3k2+1

，∴x0=

x1+x2

2

=-

9k

3k2+1

，y0=kx0+3=

3

3k2+1

則P(-

9k

3k2+1

，

3

3k2+1

)，
∵|BM|=|BN|，∴BP⊥MN，
又 B（0，-2）∴ kBP=

3 3k2+1 +2

- 9 3k2+1

=-

1

k

，
解得：k=±

6

3

，滿足（*）式   
∴直線l的方程是y=±

6

3

x+3．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、利用斜率關(guān)系及其中點坐標公式夾角垂直平分問題等基礎知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．