Question

求下列數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n：
（1）a，2a²，3a³，…，naⁿ，…；
（2）1×3，2×4，3×5，4×6，…

Answer 1

分析：（1）分a=1，a≠1兩種情況求解，當(dāng)a=1時(shí)為等差數(shù)列易求；當(dāng)a≠1時(shí)利用錯(cuò)位相減法即可求得；
（2）其通項(xiàng)為a_n=n（n+2）=n²+2n，根據(jù)通項(xiàng)對(duì)數(shù)列各項(xiàng)進(jìn)行分組求和，再運(yùn)用公式即可求得；

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

；
當(dāng)a≠1時(shí)，S_n=a+2a²+3a³+…+naⁿ，①
aS_n=a²+2a³+3a⁴+…+naⁿ⁺¹，②
①-②得，（1-a）S_n=a+a²+a³+a⁴+…+aⁿ-naⁿ⁺¹=

a(1-an)

1-a

-naⁿ⁺¹，
所以S_n=

a(1-an)

(1-a)2

-

nan+1

1-a

．
所以當(dāng)a=1時(shí)，S_n=

n(n+1)

2

；當(dāng)a≠1時(shí)，S_n=

a(1-an)

(1-a)2

-

nan+1

1-a

．
（2）數(shù)列通項(xiàng)a_n=n（n+2）=n²+2n，
則S_n=1×3+2×4+3×5+4×6+…+n（n+2）
=（1²+2×1）+（2²+2×2）+（3²+2×3）+（4²+2×4）+…+（n²+2n）
=（1²+2²+3²+…+n²）+2（1+2+3+4+…+n）
=

n(n+1)(2n+1)

6

+2×

n(n+1)

2

=n²+n．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差、等比數(shù)列的求和公式，考查錯(cuò)位相減法、分組求和法，屬中檔題，熟記相關(guān)方法及有關(guān)公式是解決該類問(wèn)題的基礎(chǔ)．