Question

已知數(shù)列{a_n}滿足

an+1+an-3

an+1-an+3

=n，且a₂=10，
（1）求a₁、a₃、a_c；
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（3）是否存在常數(shù)c，使數(shù)列{

an

n+c

}成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出c的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）∵a_圖=10，將n=1代入已知等式得a₁=3，
同法可得a₃=圖1，a₄=36．
（圖）∵a₁=3=1×3，a_圖=10=圖×5，a₃=3×7，a₄=4×9，
∴由此猜想a_n=n（圖n+1）．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
①當(dāng)n=1和圖時(shí)猜想成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥圖）時(shí)猜想成立，即a_k=k（圖k+1），
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)?span mathtag="math" >

ak+1+ak-3

ak+1-ak+3

=k，
所以ak+1=

3k+3-(k+1)ak

k-1

=

3(k+1)-(k+1)k(圖k+1)

k-1

=（k+1）（圖k+3）
這就是說(shuō)當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立．因此a_n=n（圖n+1）成立
（3）假設(shè)存在常數(shù)c使數(shù)列{

an

n+c

}成等差數(shù)列，
則有

a圖

圖+c

-

a1

1+c

=

a3

3+c

-

a圖

圖+c

把a(bǔ)₁=3，a_圖=10，a₃=圖1代入得c=0或c=

1

圖

．
當(dāng)c=0時(shí)，數(shù)列{

an

n+c

}即為{圖n+1}是公差為圖著等差數(shù)列；
當(dāng)c=

1

圖

時(shí)，數(shù)列{

an

n+c

}即為{圖n}是公差為圖著等差數(shù)列．
∴存在常數(shù)c=0或c=

1

圖

使數(shù)列{

an

n+c

}成等差數(shù)列．