Question

1．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}cosB}$
（1）求∠B．
（2）若點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，且AM=AC，求sin∠BAC的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理、商的關(guān)系化簡(jiǎn)$\frac{a}{sinA}=\frac{\sqrt{3}cosB}$，求出tanB的值，由內(nèi)角的范圍求出角B的值；
（2）設(shè)AB=c、BC=a，在△ABC、△ABM中由余弦定理求出AC、AM，由條件建立方程化簡(jiǎn)后得到a與c的關(guān)系式，代入式子求出AC，在△ABC中由正弦定理求出sin∠BAC的值．

解答 解：（1）由題意得，$\frac{a}{sinA}=\frac{\sqrt{3}cosB}$，
則根據(jù)正弦定理得，$\frac{sinA}{sinA}=\frac{sinB}{\sqrt{3}cosB}$，所以tanB=$\sqrt{3}$，
又0＜B＜π，則B=$\frac{π}{3}$；
（2）設(shè)AB=c、BC=a，
在△ABC中，由余弦定理得AC²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac，
在△ABM中同理可得${AM}^{2}=（\frac{a}{2}）^{2}+{c}^{2}-2•\frac{a}{2}ccosB$=$\frac{{a}^{2}}{4}+{c}^{2}-\frac{1}{2}ac$，
因?yàn)锳M=AC，所以a²+c²-ac=$\frac{{a}^{2}}{4}+{c}^{2}-\frac{1}{2}ac$，
化簡(jiǎn)得3a=2c，代入AC²=a²+c²-2accosB得，
${AC}^{2}={a}^{2}+{（\frac{3a}{2}）}^{2}-a•\frac{3a}{2}$=$\frac{7}{4}{a}^{2}$，則AC=$\frac{\sqrt{7}}{2}a$，
在△ABC中，由正弦定理得$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sin∠BAC}$，
則sin∠BAC=$\frac{BCsinB}{AC}$=$\frac{a×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦、余弦定理應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)、變形能力，注意內(nèi)角的范圍，屬于中檔題．