Question

已知直線（2lna）x+by+1=0與曲線x²+y²-2x+2y+1=0交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|=2時(shí)，點(diǎn)P（a，b）到直線2x-y+4=0距離的最小值等于

5

．

Answer 1

分析：由曲線（x-1）²+（y+1）²=1是圓心坐標(biāo)為（1，-1），半徑為1的圓，直線（2lna）x+by+1=0與曲線x²+y²-2x+2y+1=0交于A、B兩點(diǎn)，|AB|=2，知直線（2lna）x+by+1=0過(guò)圓心（1，-1），故b=1+2lna．P（a，b）到直線2x-y+4=0距離d=

|2a-b+4|

5

=

|2a+3-2lna|

5

，設(shè)f（a）=2a+3-2lna，利用導(dǎo)數(shù)能求出P（a，b）到直線2x-y+4=0距離最小值．

解答：解：∵曲線x²+y²-2x+2y+1=0，
∴曲線（x-1）²+（y+1）²=1是圓心坐標(biāo)為（1，-1），半徑為1的圓，
∵直線（2lna）x+by+1=0與曲線x²+y²-2x+2y+1=0交于A、B兩點(diǎn)，|AB|=2，
∴直線（2lna）x+by+1=0過(guò)圓心（1，-1），
∴2lna-b+1=0．
∴b=1+2lna，
P（a，b）到直線2x-y+4=0距離
d=

|2a-b+4|

5

=

|2a+3-2lna|

5

，
設(shè)f（a）=2a+3-2lna，
f′（a）=2-

2

a

，
令f′（a）=0，得a=1．
∴

1

2

＜a＜1，f′（a）＜0，f（a）遞減，a＞1，f′（a）＞0，f（a）遞增，
∴f（a）_min=f（1）=5，
∴d_min=

5

5

=

5

，
∴a=1時(shí)，P（a，b）到直線2x-y+4=0距離最小值為

5

．
故答案為：

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)到直線的距離的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、距離公式、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、直線方程等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．